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2012/03/03

線分を三等分する

数日前の新聞各紙に「大学生の思考力低下が問題だ」という記事が載っていた。
ネタ元は日本数学会の「大学生数学基本調査」である。
 ↓
http://mathsoc.jp/comm/kyoiku/chousa2011/

まぁねぇ、……大学生に限らず、社会に出ている人でも、良い大学に合格した割には頭悪いなぁ、と思うことがあるからねぇ。
お勉強ができて試験に受かることと、実生活で課題解決できることは別問題なんだよねぇ。

日本の社会では、試験前に丸暗記できる「記憶力が良い人」を「頭が良い人」と見なす傾向があるが、どうなんでしょう?

もちろん、ワシは丸暗記が苦手で、その意味ではお勉強はできない。
その分、その場で脳みそをフル回転させ、苦し紛れに妙案をひねり出す力、すなわち「総合力」で何とか誤魔化してきた。
だから、ワシのほうが「お勉強のできるだけのヤツ」よりも「頭が良い」と主張したいのである。

主張するからには、何かで実証しなければ、というわけで大学生の正答率 4.4%の問題に挑戦してみた。
挑戦と言っても、会社の昼休みに10分くらい考えただけであるが。

まったく何も参考にせず、二つ思い付いた。
ラフな手書きの図を元に、家に帰ってから Adobe Illustrator で作図するのに1時間半ほどかかった。
下にまとめて載せておく。

……たぶん、正しいと思う。
きちんとした数学的証明にはなっていないかも知れないが。

その後、Google で検索してみると、線分を三等分する方法は何十通りとあるようだ。
ワシと同じ方法で解いている人がいるかどうか、については、面倒くさいので調べていない。

「お勉強ができない」ことと「面倒くさがってやめちゃう」ことがワシの欠点だね。

じつはもう一つ、辺の長さが線分と同じ正三角形を7個描いて解く方法を思い付いたのだが、また Illustrator で作図するのが面倒だなぁ。


日本数学会の「大学生数学基本調査」の出題の一つ。
正答率4.4%だそうだ。

ワシは数学は苦手だが、課題解決は好きなので、ちょっと考えてみた。

線分を描いた紙を折れば簡単だが、たぶん誰かに怒られるので、ここでは却下。

三角定規を使って平行線を描いても良いなら簡単だが、まずは却下。

三角定規って、平行線を描けるだけでなく角度も測れるから、考え方によっては目盛り付きの定規と同じくらい反則かもね。

使うのは目盛りのない直定規1本とコンパスだけ

Step01

何しろ数学が苦手なので、ナントカの定理とかを思い出すこともなく、線分をぼーっと見ていた。

すると、正三角形を並べることを思いついた。
線分を底辺とする大きな正三角形と、辺の長さがその三分の一の正三角形である。

Step00

大きな正三角形の重心を求めることができれば、小さな三角形を描くのは簡単そうだ。

ということで、やってみよう。

Step01

線分の端(数学が苦手なので、A とか B とか使うのもイヤ)を中心に、線分の長さを半径とする円弧を描く。

Step02

線分のもう一方の端を中心に、線分の長さを半径とする円弧をもう一つ描く。

Step03

2箇所の円弧の交点をつなげば、線分の垂直二等分線が描ける。

Step04

円弧の交点の一つを中心に、線分の長さを半径とする円弧を描く。

Step05

いま描いた円弧の交点と、遠いほうの線分の端を結ぶと、前に描いた垂直二等分線との交点が、大きな正三角形の重心だ(正三角形の場合は、内心かつ外心でもあるよね)。

Step06

線分の端と重心を結ぶ線分の垂直二等分線を描いてやれば……。

Step07

Step08

最初の線分とその垂直二等分線の交点は、線分を 1:2 に分けている。

Step09

線分を 1:2 に分けている点を中心に、線分の端まで(線分の長さの三分の一)を半径とする円弧を描く。

Step10

これで、線分を三等分にできた。

Step11

最初に考えた、正三角形と重ねてみると、こんな具合になる。

Step12

いやー、こう描いてみると、手順が煩雑かなぁ。
もっと簡単な方法もあるんだろうね、きっと。

もう一つ考えてみた

Step2_0

今度は、一辺の長さが線分の二分の一の正三角形を考えてみた。
線分の上にも下にも積み上げてみると、ふむ、何とかなりそうだ。

Step2_1

線分を半径とする円弧を二つ描く。

Step2_2

上下の円弧の交点を結べば、線分の垂直二等分線となる。

Step2_3

線分を直径とする円を描く。

Step2_4

線分の両端から、線分を直径とする(つまり半径は線分の二分の一の)円弧を描く。

Step2_5

線分の下にある円弧の交点二つを結ぶ。この短い線分の長さは、最初に与えられた線分の二分の一である。

Step2_6

この短い線分を底辺とする細長い二等辺三角形を作る。

Step2_7

二等辺三角形の左右の辺との交点で、元の線分は三等分されている。

Step2_8

最初に思い付いた辺の長さが線分の二分の一の長さの正三角形と重ねてみる。

Step2_9

細長い二等辺三角形の高さは正三角形三個分なので、こうなるわけ。

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