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2010/02/26

不可能図形を描いてみた

ペンローズの三角形と呼ばれる不可能図形を描いてみた。


ペンローズの三角形


ペンローズの三角形という、実際にはありえない立体図形がある。
こういうものだ。


Imp_1


2次元(平面)に描くことはできるが、実際に3次元で組み立てることはできない。
レゴのようなブロックで組んだことを考えると、次のようになるはずだが、一つの面をたどっていくと、絶対にありえない角度でつながっていることがわかる。


Imp_1b


ふつうにブロックを組めば、次のように四角形になるはずだ(模型を斜め下から見上げたようすと思っていただきたい)。


Pos_1b


ちなみにペンローズの三角形は、次のような部品を120°ずつ回転させて組み合わせて作る(描く)ことができる。


Imp_1p


なお、ペンローズの三角形は正三角形の方眼紙があると簡単に描ける。
Adobe Illustrator などの図形描画ソフトがあれば、正三角形のグリッドを作っておけばよい。
次の図は、上の部品が正三角形から構成されていることを示したものである。


Imp_1pt


ペンローズの三角形を組み合わせてみる


ペンローズの三角形を描いているうち、これを二つ組み合わせたら、さらにありえない図形になるのではないか、と思った。


コピーを 180°回転させて、一部が重なっているように描いてみた。


Imp_2


しかし上の図では、輪郭線が重なってしまって、イマイチ面白くない。
そこで、次のような細いペンローズの三角形を用意して、これを組み合わせてみた。


Imp_1s


Imp_2s


ちゃんと組み合っているようでいて、奥行きがキャンセルされてしまって、じつに気持ち悪くて面白い。


ペンローズのダビデの星


二つのペンローズの三角形を、さらに近づけてみる。


Imp_3s


ダビデの星、または六芒星(ヘキサグラム)と呼ばれる図形の不可能版ができた。


これを、最初の太いペンローズの三角形で作ると、次のようになる。


Imp_3


上の図形は、次のような部品を 60°ずつ回転させて組み合わせて作ることができる。


Imp_3p

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