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2007/07/24

葉序とフィボナッチ数

(以下の内容は、科学的逍遙の「研究室/フィボナッチ数と植物」にまとめ直してある。)

フィボナッチ数を次のように定義する(括弧の中は、ホントは下付きにしたかった)。

F(n+2)=Fn+F(n+1) ただし n≧1

これは、n≧2の場合には、次のように変形できる。

F(n+1)=F(n-1)+Fn

さらに、n≧3の場合には、次のように変形できる。

Fn=F(n-2)+F(n-1)

さて、葉序は 2/5、3/8、5/13のようになっているから、一般化すれば次のように表される。

F(n-2)/Fn

一方、黄金比は次のように表される。

F(n+1)/Fn

葉序と黄金比の和を求めてみよう。

F(n-2)/Fn + F(n+1)/Fn = (F(n-2) + F(n+1))/Fn

ここで、
F(n+1)=F(n-1)+Fn
だから、

(F(n-2) + F(n+1))/Fn = (F(n-2) + F(n-1) + Fn)/Fn

さらに、
Fn=F(n-2)+F(n-1)
だから、

(F(n-2) + F(n-1) + Fn)/Fn = (Fn + Fn)/Fn

したがって、葉序と黄金比の合計は 2 である。

つまり、
究極の葉序=2-黄金比
となる。

そこで、
究極の開度〔°〕=360×(2-黄金比)
となり、この開度で茎に葉が付いているとき、茎を真上から見ると、葉がまったく重ならないはずである。

ま、実際には「究極の開度」でない植物も、茎がよじれたり、葉柄を曲げたりして、なるべく多くの葉に日光が当たるように調節しちゃっているのだけどね。
生物体の構造や機能は数学的基盤に載っているけど、それをぐっちゃりとないがしろにすることがよくあるのではないだろうか。

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